一阶倒立摆由摆杆与运动平台组成。运动平台在皮带的牵引下可以左右运动。假设摆杆是均质杆，以其质心的速度/加速度代表摆杆的速度/加速度，系统结构如图：
其中M是运动平台的质量，x是平台的位置。m为摆杆质量，l为摆杆长度的一半。
受力分析
运动平台受力如图：
其中F是平台受到皮带的牵引力，f是阻力系数。将运动平台作用于摆杆的力分解为水平分量N和垂直分量P，N’、P’是摆杆作用于运动平台的反作用力。
分析水平方向的受力：
摆杆受力如图：
其中g为重力加速度常数，是从竖直向下方向到摆杆的夹角。
假设在极短的时间内摆杆角度不发生变化，分析水平方向的受力：
分析垂直方向的受力：
分析受到的力矩：
其中I为转动惯量，，以顺时针方向为的正方向
传递函数建模
根据受力分析，可以计算：
代入转矩平衡，做化简：
在顶部不稳定平衡点附近
此时，做一个变量替换：.则有：。如果很小，可以线性化：
则转矩平衡方程可以进一步简化：
假设：
代入则有：
运动平台的加速度→摆杆对竖直向上方向的夹角
将上式写成传递函数形式即可。
有一正一负两个极点，系统不稳定
运动平台受到的牵引力→摆杆对竖直向上方向的夹角
根据前文的分析，有：
因此，将力N代入运动平台的受力平衡方程：
同样做变量替换，则有：
由转矩平衡方程：
取Laplace变换：
代入数据
代入则有：
状态空间建模
同样做变量替换：.在不稳定平衡点附近做线性化，并近似，则转矩平衡方程：
受力平衡：
选取状态变量,控制变量,输出变量：
则有：
Simulink仿真
在Simulink中搭建闭环模型，分析系统的单位阶跃响应：
使用PID控制器镇定系统：
倒立摆系统PID控制器
使用从运动平台所受牵引力→摆杆角度的传递函数。
可以看出该系统是不稳定的。画出这个系统的根轨迹，可以看出无论增益如何变化，始终存在一个不稳定的极点。
考虑使用PID控制器，为系统增加一对共轭复极点：
取共轭复极点为，可以从根轨迹看出，当增益在50左右使可以收获较为理想的性能。根据以上数据代入计算：
调节时间0.298s，稳态误差为0，满足设计要求。
摆杆角度控制
实际倒立摆运行时，给定输入为0，而存在扰动力，此时的模型可以归纳为：
运行仿真发现，之前选择的PID参数仍然满足要求。
运动平台位置控制
由于导轨的长度是有限的，因此还需要控制运动平台的位置。
由前文的分析：
从中导出从力到平台位置的传递函数：
则可以进一步导出从角度到运动平台位置的传递函数：
可以看出，虽然摆杆的角度得到了控制，但运动平台的位置并没有得到控制。如果摆杆多次受到同一方向的扰动，运动平台就有可能达到运动极限导致系统失控。因此为运动平台的位置也增加闭环控制。增加了一级PID后，系统整体的传递函数：
画出该系统的根轨迹：
可以看出在右侧有一对零极点，导致无论增益如何调节，都会有一个不稳定极点出现。这种情况下使用PID校正是比较困难的。
倒立摆系统LQR控制器
根据前文的分析，系统的状态空间表达式：
代入数据：
在Simulink中搭建仿真模型，向模型输入单位阶跃，可以看出该系统是发散的：
LQR算法有已经封装好的函数，可以直接调用。调用时需要指定两个矩阵。矩阵Q为性能指标函数对于状态变量的权值矩阵，为对角阵，每个元素对应一个状态变量。元素越大，说明着该变量在性能函数中越重要。矩阵R为控制量的权重，也对角阵，每个元素对应一个输入量。同样地，元素越大，说明控制约束越大。取Q=diag(500,30,50,10)，在MATLAB工作区编程：
在Simulink中可以直接调用计算结果，引入状态反馈，其中增益K是由LQR算法计算出的反馈矩阵：
可以看出，系统已经稳定。
但是此时运动平台位置仍然没有被控。假设我们要控制这个量，则应该给这个量一个参考输入。例如在下图里，给了它幅值为0.2的阶跃信号作为参考输入。
