DFS的定义、性质
DFT的定义、性质
频域抽样定理与使用DFT分析信号频谱
DFT 离散傅立叶变换，时域离散周期，频域周期离散.
周期序列的DFS
DFT根植于DFS （离散傅立叶级数）。
将周期为N的序列记为：
其DFS：
由于离散信号的频域周期化，DFS只能取出N个独立的谐波分量。
定义旋转因子：, 则DFS可以写为：
DFS与Z变换的关系：
序列的DFS可以看作是：
- 对周期序列取出一个周期
- 进行Z变换
- 在单位圆上对Z变换等间隔抽样
DFS的性质：
- 线性
- 序列的移位
- 调制特性
- 对偶性 , 将DFS直接再次代入DFS计算：
- 周期卷积和：
对比线性卷积：.
参与周期卷积的序列都是周期序列。卷积只在一个周期上进行。
离散傅立叶变换DFT
将有限长序列以N为周期延拓
- 主值区间：的第一个周期对应的区间，
- 主值序列：是的主值序列
- 取不同的r时，x(n+rN)彼此不重叠，因此可以用主值序列来表示周期序列的值。 可以记为, 其意义是：可以将任意一个n通过对N取余而转化到主值区间(n=0~N-1)。 例如n=25，N=9，则
同理，频域的周期序列也可以看作有限长序列的周期延拓。主值序列、主值周期、用主值序列表示周期序列的方法与时域相同。
推广DFS，原本考虑的是一个周期序列，现在考虑x(n)和X(k)两个主值序列，即得到DFT的定义：
其中
DFT与DTFT的关系：
N点DFT是DTFT在区间 上的N点等间隔抽样
DFT与Z变换的关系：
N点DFT是Z变换在单位圆上的N点等间隔抽样
DFT的性质
- 线性
- 循环移位，或称圆周移位： 从一侧移位出去的点，又从另一侧移位进来。 例如，周期为N的序列，向左圆周移位m位：
- 时域循环移位定理：时域循环移位后，频谱相位移动，幅值不变。
- 频域循环移位定理：
- 共轭对称性：
- 周期序列可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量
- 有限长序列可以分解为圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量
- 共轭对称性的二级结论：
- 如果, 则
- 如果, 则
- 序列实部的DFT=序列DFT的圆周共轭对称分量 如果, 则
- 序列虚部的DFT=序列DFT的圆周共轭反对称分量 如果, 则
- 当x(n)是实序列时，其DFT是圆周共轭对称的。没有圆周共轭反对称分量。
- 当x(n)是纯虚序列时，其DFT是圆周共轭反对称的。没有圆周共轭对称分量。
- 圆周卷积和
- 时域卷积定理
- 其中的卷积运算叫做圆周卷积。其步骤（L点）：
- 线性卷积与圆周卷积的关系：
设和均为长度为N的有限长序列，和分别为对应的DFT。如果, 则：
1）若两个序列不等长，补零使之等长
2）周期延拓，将两个序列变成周期序列（周期为L点）
3）翻褶（以0为轴翻褶），取主值序列（取L点）
4）圆周移位
5）相乘相加
例题：求两个序列的4点圆周卷积
的长度为，的长度为。将两个序列补零到L点。然后以L点周期延拓，得到、。
进行线性卷积：
「注：线性卷积原本求和是从-inf到+inf，但考虑到是两个从0开始的有限长序列，因此只需要计算, 而L一定同时大于等于两个序列的长度，因此计算0～L-1也是可以的」
进行周期卷积：
圆周卷积是周期卷积的主值序列，因此：圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。即计算L点的圆周卷积，先计算线性卷积，然后以L为周期延拓，再取主值区间。
由于L点圆周卷积只有L位，为了保证线性卷积中的所有值都被保留了下来，要求.
如果L不满足以上的要求，那么在进行线性卷积的周期延拓时会出现时域的混叠。
频域抽样定理
求DFS(DFT)实际就是在进行频域抽样。
由频域抽样恢复序列：
设非周期序列x(n), 其Z变换X(z)，在单位圆上等间隔抽样N个点（相当于周期延拓后DFS）：
对抽样而来的序列进行IDFS：
由于
所以
可见，在频域抽样而来的序列转换到时域相当于非周期序列的周期延拓。
因此为了保证周期延拓后信号不发生混叠，采样过程还需要满足频域采样定理：
若序列x(n)长度为M，则只有当频域采样点数时，才有IDFT[X(k)]=x(n). 否则将产生时域混叠现象。
用DFT对信号进行频谱分析
本质是使用DFT逼近FT。因此目的是从连续时间非周期信号→频谱。
分为三步：
- 时域抽样
采样间隔(时间)，采样频率(频率)
时域抽样后可以使用DTFT变换到频域。此时得到的频谱是原信号频谱的周期延拓。
- 时域截短
记录信号的长度(时间)，采样点数(数量)
使用窗函数来进行时域截短。
时域截短后可以使用DTFT变换到频域。此时得到的频谱是[原信号频谱的周期延拓]与[所使用的窗函数频谱]的卷积。
- 频域抽样
频域采样间隔(频率)「频率分辨率」
对时域截短后对应的频谱进行抽样，此时得到的频谱可以用于逼近原信号的频谱。
近似逼近的FT：
为了保证结果没有失真，需要满足：
1）时域抽样
2）频域抽样
3）采样点数
在使用DFT进行频谱分析的时候，可能存在一些问题：
- 频谱泄漏问题 时域截短后，频域与所用的窗函数卷积，使得频谱变宽、拖尾。
通过增加采样点数N、更换窗函数缓慢截短改善
- 栅栏效应 频域抽样后，只剩下离散点的信息。对于未采样时刻其频谱未知。就像透过栅栏在观察一样。
特别感谢：康文静老师、程佩清老师