旋转矩阵
点：空间中的基本元素，没有长度，大小
向量：把两个点连接起来，形成向量
坐标：设有一组基, 任意向量a在这组基下则有坐标：
向量内积：描述向量间的投影关系
向量外积：两个向量张成的四边形的有向面积。方向垂直于两个向量，大小为
欧氏变换 Euclidean Transform
两个坐标系之间相差了一个欧氏变换。
首先考虑旋转。某个单位正交基经过一次旋转变成了。向量 在两个坐标系下的坐标分别为. 旋转前后向量本身是不变的，因此：
同时左乘，则有：
矩阵R描述了旋转前后一个向量的坐标变换关系，即描述了旋转，因此称为旋转矩阵。该矩阵的各个值是两个坐标系基的内积，而基向量长度为1，因此实际该矩阵的值是基向量夹角的余弦，故这个矩阵也叫方向余弦矩阵。
旋转矩阵是正交矩阵（逆为自身的转置），行列式为1（认为定义的。如果行列式为-1，则表示瑕旋转，即一次旋转加一次反射）。n维的旋转矩阵的集合定义为：
SO表示Special Orthogonal Group(特殊正交群)
表示方向相反的旋转。
具体到两个坐标系之间的旋转，可以记为：是把坐标系2的向量变换到坐标系1中的意思。
然后考虑平移。假设先旋转，再平移。则向量a变为a’：
具体到两个坐标系之间的旋转+平移，可以记为：，是从坐标系1原点到坐标系2原点的向量在坐标系1下的坐标。例如在做自身定位时，是指从世界坐标系原点指向自身位置的向量在世界坐标系下的坐标。
变换矩阵
上述的变换不是线性关系，也即多次变换是具有先后顺序的，不满足交换律等等。
在一个三维向量末尾添加1，得到的四维向量称为齐次坐标。引入齐次坐标后即可以把旋转和平移写入一个矩阵，称为变换矩阵：
为了简便，将齐次坐标转换与变换矩阵简写为
类似的，3维的变换矩阵的集合定义为：
变换矩阵的逆表示一个反方向的变换。
表示从2到1的变换。
旋转向量和欧拉角
用旋转矩阵/变换矩阵描述刚体运动，存在以下的问题：
- 旋转矩阵有9个量，而旋转只有3个自由度。变换矩阵有16个量，而变换只有6个自由度。因此是冗余的
- 旋转矩阵是有约束的，必须正交且行列式为1.这使得求解变得困难
旋转向量
用旋转轴和旋转角来表达旋转。用一个向量，其方向为旋转轴方向，其长度为旋转角，这样的向量叫做旋转向量。旋转向量可以表示为，其中是一个与旋转轴共线的单位向量。
对于变换矩阵，使用一个旋转向量+一个平移向量来表达。
从旋转向量到旋转矩阵的变化过程：Rodrigues’s Formula
对这个公式左右两边求迹，再加上旋转轴()在旋转后不发生改变，可以推导出从旋转矩阵到旋转向量的变化过程：
旋转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量归一化的结果。
欧拉角
用3个分离的转角直观地描述旋转。由于分解旋转的方式多样，因此欧拉角的定义也多样。这里介绍yaw-pitch-roll（ZYX）描述方式。
原始坐标系：朝向我们为X，右侧为Y，上方为Z
- 绕Z轴旋转，得到yaw（偏航角）
- 绕新的Y轴旋转，得到pitch（俯仰角）
- 绕新的X轴旋转，得到roll（滚转角）
和ZYX旋转方向对应的，使用三维向量描述旋转（注意顺序）。
但欧拉角存在万向锁问题（奇异性问题），也就是pitch为度时，第三次旋转轴与第一次旋转轴相同，系统丢失一个自由度。（任何用3个实数表达三维旋转的尝试，都会有奇异性问题）
四元数
在复平面中，旋转可以用一个单位复数来表示。类似地，三维旋转可以用单位四元数来描述。
一个四元数q有1个实部和3个虚部：, 三个虚部的关系如下：
四元数也可以用一个标量+一个向量的方式表达：,s是实部，是一个数。v是虚部，是一个三维列向量。
四元数的运算
, 用向量表示为
- 加减
- 乘 每一项互相相乘，然后相加: 也可以写成向量形式： 乘法不满足交换律（除非共线，外积为0）
- 模长 四元数乘积的模=模的乘积
- 共轭 四元数共轭乘其本身，得到实四元数，实部为模长的平方
- 逆 四元数和自己的逆的乘积为1(是四元数1) 对于单位四元数，其逆和共轭相同。
- 数乘
用四元数表示旋转
- 对一个点的旋转
三维空间点p：[x,y,z]，四元数q指定了旋转，旋转后得到p’。首先把点p用一个虚四元数来描述：，相当于三个坐标对应到3个虚部上。旋转后. 把p’的虚部取出，则得到旋转后的坐标。
- 四元数到旋转矩阵
- 四元数到旋转向量
其他变换
从真实世界到摄像头图像之间是射影变换。