轨迹是具有时间属性的一条路径。路径是一个空间结构，描述了从初始位姿过渡到最终位姿形成的图形。
轨迹的一个重要要求就是要平滑。我们希望无论是位置还是姿态都随时间平滑变化。
平滑一维轨迹
即一维向量（标量）随时间从某一点过渡到另一点的过程。某函数光滑是指其对时间的导数是连续的。
时间的多项式函数可以用来表示平滑一维轨迹：
其一阶和二阶导数也是光滑的多项式：
代入t=0和t=T：
注：选取5阶多项式是因为6个系数，对应起点和终点的位置、速度、加速度，构成方阵，方便求解
在机器人工具箱中生成五次多项式轨迹：
绘制出位置、速度、加速度随时间(步数)变化的情况：
多项式的平滑轨迹问题在于平均速度低（见上图中间，先加速后减速，并没有长时间的高速运行），导致位姿变换慢。为了解决这个问题，可以采用混合曲线轨迹。混合曲线轨迹在加速与减速之间有恒速段。（混合曲线轨迹加速度不光滑）
在机器人工具箱生成混合曲线轨迹：
多维轨迹
轮式机器人由位置或位姿描述。这种情况实际相当于一维情况的拓展。
多段轨迹
从某一点出发，到达某一点。但不是直接到达，而是要不间断地到达或接近某些中间点然后才到达终点。
接下来以通过多项式曲线衔接多段直线轨迹为例。每个直线轨迹均为恒速，根据直线轨迹的起点和终点以及对应的速度，可以计算出用于衔接的多项式曲线。
定义汇接时间为汇接过程（在多项式曲线上运行）的时间。[到达中间点前]和[经过中间点后]平分汇接时间，各占.
第一段从初始位姿，以0初始速度，沿多项式曲线开始加速，然后汇接入直线段，并沿该直线段向运动。随后从该直线汇接下一个多项式曲线。运行后第一段结束。
第二段以及之后的运动同理。
假设每个直线段的恒速分别为,则在汇接过程中的平均加速度：
当已知机器人的最大加速能力，即可求出最小的汇接时间。之后通过汇接时间反求直线段的起点和终点，最后求出衔接过程的多项式曲线。
利用机器人工具箱计算多段轨迹的情况：
在二维空间中留下的轨迹以及坐标随时间变化的情况如图：
