本节介绍稳定性分析的原理以及代数稳定性判据（劳斯判据）
本节介绍系统稳态误差的定义及计算方法
稳定性分析
稳定性的定义：
在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则系统不稳定。
稳定的充要条件与必要条件
充要条件
扰动发生后要求回到原来的平衡状态，也就是单位脉冲响应为0。（认为单位脉冲为典型扰动输入）
是处的留数。因此的充要条件是：特征根具有负实部，也就是系统的闭环极点全部位于左半s平面
必要条件
控制系统稳定的必要条件是：特征方程的各项系数具有相同的符号，且都不为0
在计算代数稳定判据之前可以先行做初步判断
劳斯判据-Routh
列出劳斯表：
特征方程各项按照幂次从高到低排序，劳斯表第一行是奇数项（第1，3，5，7，9项）系数。第二行是偶数项（第2，4，6，8，10项）系数。
之后第x行的第y个元素等于
计算到最后、的时候，劳斯表一行只有一个元素。可以通过这个检查是否计算正确。
劳斯判据：劳斯表第一列元素符号改变次数=特征方程在右半平面内的根的个数。
因此，当劳斯表第一列元素具有相同的符号，则系统稳定。
在计算时，某一行元素同时乘或除某一个数不影响最终的稳定性结论，因此遇到分数或者过大的数，可以先去分母\约分处理以简化运算。（后面例题为了直观并没有这样操作）
例题
- 用劳斯判据判断系统是否稳定
判断稳定性的题，如果没有特殊要求一定先看是否满足必要条件。如果过不满足那么可以直接结论不稳定。
2. 用劳斯判据确定参数范围
两种特殊情况
- 某行的第一列为0，但这一行不全为0
使用一个很小的正数代替0，继续运算
- 某一行全部为0
用上一行元素构建辅助方程，对s求导一次，用新方程的系数代替全零行的系数继续运算
出现全零行的一定是奇次行。
出现全零行有可能是：特征方程有以原点对称的实根、以原点对称的虚根、以虚轴对称的共轭复根。具体是哪一种，需要令辅助方程=0，求解。
小结
- 系统稳定性是系统自身的属性，与输入的类型、形式无关
- 系统是否稳定，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。（闭环零点影响动态性能，但不影响稳定性。闭环极点决定系统稳定性，也影响动态性能） 补：增加闭环零点：峰值时间靠前，超调量增大 增加闭环极点：峰值时间靠后，超调量减小
- 闭环系统稳定性与其开环是否稳定无关
稳态误差
稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。
误差包括永久性误差，比如由于参数漂移、元件老化等带来的误差，还有原理性误差，即由于系统结构、参数引入的误差。这里只讨论原理性误差
通常把阶跃输入下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统，反之称为有差系统
误差与稳态误差的定义
1. 按输入端定义的误差
2. 按输出端定义的误差
两种定义本质上是一样的，如果再进一步推导，就有：
以下的分析都是基于输入端定义的误差进行的。
- 稳态误差 误差传递函数： 由于系统输出分为暂态分量和稳态分量，因此误差也分为暂态分量和稳态分量： ts->temporary state ss->stable state， 系统的稳态误差就是误差的稳态分量
计算稳态误差的一般方法
- 判断系统稳定性「这一点非常重要，因为只有对稳定的系统研究稳态误差才有意义」
- 求误差传递函数「可以用梅逊公式快速得结果」
- 用终值定理求稳态误差
来看一道例题：
一般方法虽然实用但一般不会使用它。下面介绍静态误差系数法：
静态误差系数法
构建如下的系统：
开环传递函数
化成尾1标准型所以K是开环增益，v是系统型别(就是一个分类标准，v=0叫做0型，v=1叫做1型)
仍然使用一般方法计算稳态误差。
根据不同的输入，分别代入求解，由此引出静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数的定义。
再根据不同的系统型别，分别计算出三个静态误差系数:
型别v | |||
0 | K | 0 | 0 |
1 | K | 0 | |
2 | K |
再带回，计算系统的稳态误差：
型别v | |||
0 | |||
1 | 0 | ||
2 | 0 | 0 |
有了这两个表，就可以很方便的计算系统的误差了，来看例题。
例题1:
例题2:
从这道例题里面可以看出：按前馈补偿的复合控制方案可以提高系统的稳态精度
例题3:
从这道例题可以看出：在主反馈口到干扰作用点之前的前向通道中提高增益、引入积分环节，可以同时减小或消除输入和干扰作用下产生的稳态误差。
例题4:
在这道例题里面，我们一定注意，在计算稳态误差等等性能指标之前，一定确定系统是稳定的。尤其是这种需要自定义参数的题目。
动态误差系数法
静态误差系数法只能求出最终的误差稳态值。而使用动态误差系数法可以研究误差中的稳态分量随时间的变换规律
首先把误差传递函数展开，称E(s)的泰勒展开为误差级数。，称为动态误差系数
按照定义来算的话，但是这样的计算方法比较繁琐所以一般使用长除法：
（将开环传递函数按升幂排列才能除出级数的形式）
这个问题需要注意的是，即使稳态误差是无穷大，控制系统仍然是可用的。比如导弹的控制系统，导弹打出去几分钟就爆炸了，那么只要在这几分钟之内误差满足要求就好了。