IIR滤波器的直接型、级联型、并联型结构
FIR滤波器的直接型、级联型、快速卷积结构
DF：数字滤波器。其功能是把输入序列经过一定的运算变换成输出序列。
对于LTI系统，其输出：
写成差分方程的形式，则数字滤波器只包含三种运算：相加、乘常数、延时. 例如二阶数字滤波器的差分方程为：
使用方框图/ 流图表示：
IIR DF Structure
Infinite Impulse Response, 单位冲激响应无限长。
- 系统函数H(z)在有限长z平面()有极点
- 结构上是递归型的，存在输出到输入的反馈
- 因果稳定→全部极点在单位圆内
将N阶IIR DF表示为：
直接型结构
Direct form I
直接将差分方程转换为流图：
第一部分all zero system， 每个延时抽头后加权相加，是一个横向网络，用于实现零点。
第二部分all pole system，对y(n)延时，是一个反馈网络，用于实现极点。
结构上两个网络级联，共需(N+M)级延时单元。
缺点是系数不能控制单个零极点，因此不能很好实现滤波器性能控制。因此多用于低阶滤波器。
Direct Form II
也称为典范型、正准型
由LTI系统的特性，把直接I型结构的两个级联网络对调，合并相同的延时支路：
结构上同样为两个网络级联。第一个有反馈的网络实现极点。第二个横向结构的网络实现零点。
只需要N级延时单元。
缺点同直接I型
级联型结构
将系统函数因式分解：
其中实根和共轭复根都可以用基本二阶节表示：
二阶节一般使用正准型表示方法。整个滤波器可以看成多个二阶节的级联：
每一个基本节控制一对极点和一对零点，有利于调整滤波器，控制频率响应。
零极点的配对方式和二阶节的级联顺序可以自由选定，灵活性大。
受计算机有限字长的影响小
并联型结构
将系统函数部分分式展开：
同样的，无论是实极点还是复极点都可以用基本二阶节表示：
基本二阶节分子比分母低一阶，多出来的零点和常数项用表示:
整个滤波器可以看成是基本二阶节并联而来：
并联型结构可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。
各基本节的误差互不影响，不会累加，因此误差最小。
FIR DF
h(n)是有限长序列。
系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处。一定为稳定系统
结构上主要是非递归结构（没有反馈）。但在某些结构例如频率抽样结构中也有反馈。
系统函数：
无反馈，也即IIR DF 中 的情况。其差分方程：
直接型结构
也称卷积型、横截形。
直接从系统函数而来：
该结构简单直观，运算速度快
系数是系统单位脉冲响应h(n)的值
缺点是不能直接控制零点。
级联型结构
将系统函数分解成二阶实系数因子的乘积：
利用二阶节级联实现：
系数多于直接型，因此所需乘法运算也多。
每一节控制一对零点。适用于需要控制传输零点的应用。
快速卷积结构
数字滤波器实际实现的是卷积运算（输入与滤波器冲激响应卷积）。因此也可以通过一些方法计算卷积来构建示波器。
设FIR DF的单位冲激响应为M点，输入x(n)为N点。输出长度L=N+M-1。利用L点圆周卷积替代线性卷积。
特别感谢：康文静老师、程佩清老师