线性相位FIR滤波器的特点（幅度函数、零点位置）
窗函数法设计FIR滤波器
FIR滤波器额定单位冲激响应：
其系统函数：
在平面有个零点，在处有阶极点
线性相位FIR滤波器的特点
线性相位条件
h(n)为实序列时，其频率响应：
线性相位是指是 的线性函数，即群延时函数 是常数。
- 第一类线性相位：
- 第二类线性相位：
第一类线性相位的充要条件：
h(n)是实序列且对中心点 偶对称: 。群延迟: 。
第二类线性相位的充要条件：
h(n)是实序列且对中心点n=(N-1)/2 奇对称：。群延迟: 。
频率响应特点
由：
可得：
因此：
由于：
因此：
幅度函数特点
- h(n)偶对称，“+”，第一类线性相位
- h(n)偶对称，N为奇数 以(N-1)/2为中心，把两两相等的相进行合并，余下中间项n=(N-1)/2 则：, 其中： 由于存在对称性，对 呈偶对称 适用于所有滤波器
- h(n)偶对称，N为偶数 将相等的相两两合并成N/2项 则：, 其中： 对呈偶对称，对呈奇对称 不能实现高通、带阻
- h(n)为奇对称，“-”，第二类线性相位
- h(n)为奇对称，N为奇数 , 将两两相等的两相合并 则：, 其中： , 是零点 对 呈奇对称 只能实现带通
- h(n)为奇对称，N为偶数 则：, 其中： , 是零点 对, 呈奇对称，对呈偶对称 不能实现低通、带阻
零点位置
因此，如果是零点，那么也是零点。
此外，如果h(n)是实数，那么零点共轭成对，即也是零点。
可见零点共轭成对且镜像成对（互为倒数）
- 一般情况： 4个零点，
- 零点在单位圆上且不在实轴上： 2个零点，
- 零点在实轴上但不在单位圆上： 2个零点，
- 零点同时在实轴上和单位圆上： 1个零点，
窗函数设计法
已知要求的理想频率响应 , 在时域进行设计：
所得是无限长的，使用一个有限长的“窗函数”将其截断：
窗函数的点数N和形状是两个重要的参数。
检验加窗后的实际频率响应，调整设计，直至满足要求。
例如线性相位理想低通滤波器：
其理想单位抽样：
是一个中心点为的偶对称无限长非因果序列。
取一个矩形窗截断理想低通滤波器的单位脉冲响应。矩形窗：
加窗后的FIR滤波器：
按第一类线性相位条件，
加窗后对频率响应的影响：
时域与窗函数相乘，频域与窗函数卷积。
FIR滤波器的频率响应：
其幅度函数
加窗后：
- 不连续点处边沿加宽形成过渡带。过渡带宽度=正负肩峰之间的宽度=窗函数频率响应的主瓣宽度。
- 在处出现肩峰，两侧起伏震荡。震荡的幅度和次数取决于旁瓣的幅度和数量。
- N的大小决定窗函数频谱主瓣的宽度。但N不改变主瓣与旁瓣的相对大小，也就不改变肩峰的相对值，产生Gibbs效应。肩峰的相对比例由窗函数的形状决定。
常见的窗函数
对于窗函数的要求：
过渡带窄→主瓣尽可能窄
肩峰和波纹小→减小最大旁瓣的相对幅度
但二者不能同时满足。
- 矩形窗
窗函数：
窗谱：
幅度函数：
主瓣宽度：, 主瓣宽度最小，但旁瓣幅度大
- 三角形窗（Bartlett窗）
窗函数：
窗谱：
幅度函数：
主瓣宽度：，旁瓣幅度较小
- 汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）
窗函数：
幅度函数：
主瓣宽度：，旁瓣幅度小
- 海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）
窗函数：
幅度函数：
主瓣宽度：，旁瓣幅度更小
- 布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗） 窗函数：
幅度函数：
主瓣宽度：，主瓣宽度最宽，旁瓣幅度最小
- 凯泽（Kaiser）窗
窗函数：
其中是第一类变形零阶贝塞尔函数，改变可以同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度。越大，旁瓣幅度越小，但主瓣宽度越大。
常见窗函数的时域对比：
常见窗函数的基本参数对比：
其中：旁瓣峰值：最大旁瓣的峰值相对于主瓣峰值的衰减值
过渡带宽：实际的过渡带宽度。等于窗谱主瓣宽度的过渡带宽度只是近似
窗函数法设计的步骤
- 给定理想的频率响应函数、技术指标和（过渡带宽）
- 求出理想的单位抽样响应 这一步可以使用公式法： IFFT法：先在频域等间隔抽样M点，再计算IFFT:
- 根据阻带衰减选择窗函数, 根据过渡带宽度确定N，，A为上表中过渡带宽的分子
- 求加窗后的单位抽样响应, 计算其频率响应H(e^{j\omega}), 检验指标是否满足要求
理想的现象相位滤波器的频率响应：
低通：
高通：(高通=全通-低通)
带通：(带通=低通[宽]-低通[窄])
带阻：(带阻=高通+低通)
特别感谢：康文静老师、程佩清老师