IIR数字滤波器的设计方法
模拟低通滤波器的设计方法
脉冲响应不变法与双线性变换法离散化
IIR DF 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器。
模拟滤波器的设计
低通滤波器
设计指标：
带通截止频率, 阻带截止频率, 通带最大衰减系数, 阻带最小衰减系数
(在上图中写为，在上图写为)
逼近方法：
给定设计指标后设计模拟域的传递函数), 使其幅度平方函数满足 的要求。
一般滤波器的单位冲激响应为实数，
巴特沃斯低通滤波器
其幅度平方函数：
N：滤波器的阶数。N越大越接近理想滤波器，但实现也越复杂。
设计步骤：
- 根据性能指标计算N：
计算结果向上取整。
- 查表：
查表得到的传递函数：
- 去归一化： 由幅度平方函数衰减到1/2处计算3dB截止频率: 。将 代入即可得到实际滤波器的传递函数：
将模拟滤波器转换为数字滤波器
把已经设计好的模拟滤波器转换为数字滤波器实际是把s平面映射到z平面的变换。要保证映射后H(z)稳定且满足技术指标的要求，映射变换必须：
- 因果稳定的系统映射后仍然因果稳定。即要求S平面左半平面映射到Z平面单位圆内部。
- 映射前后频率响应相似。即要求S平面虚轴映射为Z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。
脉冲响应不变法离散化
这是一种时域上的转换方法。首先将S域传递函数做拉氏逆变换转到时域，然后在时域上等间隔采样得到离散序列，并做Z变换转化为离散系统函数。
模拟滤波器：
用部分分式表示：
拉氏逆变换：
等间隔T采样：
Z变换：
映射前后，s平面极点与z平面极点之间有： 的关系。
「实际手工计算的时候，可以通过先计算s域极点，通过两平面间映射关系计算出z域极点。将Z域极点代入公式，即可计算出z域的传递函数。」
该方法存在的问题：
- 从S平面段到Z平面的映射是多值映射
- 从S域到Z域的变化依赖于抽样后的信号，因此不存在一个一一对应的变换关系
- 由于存在时域抽样，因此可能产生频域的混叠失真。为了避免混叠失真，要求模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内。 即： 但实际的模拟滤波器都不是严格限带的，因此都会有频率响应混叠失真。因此当模拟滤波器在折叠频率以上衰减得越大、越快，变换后混叠失真就越小。因此它只适用于低通或带通滤波器。
- 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓： . 不考虑混叠则: 即数字滤波器的频率响应幅度与采样间隔T成反比。 修正这个问题可以在离散化的时候加一个增益，令：
该方法的优点：
- 时域逼近良好。数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器。
- 模拟频率和数字频率之间呈线性关系：, 线性相位的模拟滤波器仍然转换为线性相位的数字滤波器。
双线性变换法离散化
让S域到Z域的映射是单值映射。
先用线性压缩，将模拟角频率压缩到折叠频率以内：
再进行单值映射：
为了使映射前后的频率之间有对应关系，引入常数C：
一般要求低频处。 对于一个较小的数，可以有近似：
取, 如果取，则有。则变换变为：
该方法的优点：
解决了混叠问题。
该方法的问题：
数字频率域模拟频率的对应关系为非线性关系。
解决这个问题的方法：频率预畸
对于数字滤波器的设计指标, 在设计模拟滤波器时，将该指标预畸为, 按照这个指标设计模拟滤波器，再用双线性变换法离散化，得到的数字滤波器指标就不会发生畸变。
数字高通、带通、带阻滤波器的设计
首先将设计指标转换为模拟低通滤波器的设计指标。设计模拟低通滤波器。再通过频率变换将模拟低通滤波器转换成所需的模拟滤波器。再将模拟滤波器进行离散化。
特别感谢：康文静老师、程佩清老师